自然数的分解：合数与素数

人们在钻研事物时，总喜欢去探索根源，而这通常就需要对事物进行分解，比如物理学就致力于寻觅形成物资的基本粒子。数学家们也同样，在钻研自然数时，也但愿能够找到形成自然数的“基本粒子”，通过对自然数的分解，探究“最基本的数”，这也是本文的宗旨内容，也就是讲授合数与素数。

素数指的是大于1的且只能被1以及本身整除了的自然数，其他的大于1的自然数被称为合数。举例说明：最小的素数是2，由于只有1以及2这两个因子；最小的合数是4，由于它的因子包含1，2，4.咱们认为素数是不可分的，也即不能分解成其他数的乘积，但合数能够分解成其他素数的乘积，所以，素数就好比是自然数的“基本粒子”。这样的“基本粒子”有多少个呢？这是数学家们很自然就会想到的问题，第一个解决这个问题的是欧几里德（约公元前330-公元前275，中国战国中后期），用的是反证法，参考如下：

假定素数的个数是有限的，总共有n个，按大小顺次排列为,构造一个数，它是所有素数的乘积再加之1，如，很显然a不被任何一个素数整除了，更不可能被任何合数整除了，因而，a也是素数，假定即不成立，素数是无穷多个的。

然而，如上构造法得到的数并不是一定是素数，咱们以20之内的素数来举例计算：

其中，,即不是素数。怎么寻觅素数是数学家几千年一直努力的方向，最先的寻觅办法叫做“筛法”，也是比较原始的办法，举例寻觅20之内的所有素数，先把20之内的自然数（1去掉）顺次排列如下：

2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，17，18，19，20

第一步，去掉所有2的倍数，得到2，3，5，7，9，11，13，15，17，19；

第二步，再去掉所有3的倍数，得到2，3，5，7，11，13，17，19

然后，顺次去掉所有5的倍数及其他素数的倍数，本例中终究结果是：2，3，5，7，11，13，17，19。

然而这样的办法确切太慢了，数学们但愿能够找到更快速的办法来寻觅素数，比如著名的业余数学巨匠费马（1601-1665，明代万历29年-清代康熙4年），他在中国最广为人知的是以他命名的费马大定理，他提出一个公式来发生素数，并自认是正确的，这个公式如下：

,费马算出了前4个数，均为素数，如下：

然而，号称所有人的老师的欧拉（1707-1783，清代康熙46年-乾隆48年）算出第五个数，立马颠覆了费马的结论，，再日后算得到结果也不是素数，如。

另外一个构造素数的办法是,梅森（1588-1648，明代万历16年-清明顺治5年）与费马通讯探讨过这个公式，并经由四年钻研，得到结果当n=2，3，5，7，13，17，19时，这个公式计算所得的数是素数，同时，料想n=31,67,127,257时，所得的数也是素数（人们称这类素数为梅森素数），然而，1930年，数学家科尔算出,颠覆了梅森的料想。2016年，美国数学家库珀发现第49个梅森素数，即,这个素数有22338618位。借助计算机强大的计算能力，帮助人们继续寻觅更大的梅森素数，“互联网梅森素数大搜寻”（简称GIMPS）项目动用180个国家以及地区超过27万人，70万台计算机来寻觅梅森素数。

数学们至今都未能找到一个行之有效的发生素数的办法！

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