美索米亚平原数学史变迁，希腊人的研究，以及对数学的实践和理论

关于欧几里得之前希腊数学的文献证据，虽然有各种各样的材料证实，但它是相当不均匀的，并且在时间和空间上分散。

我们常常对作家的日期含糊不清，我们不得不猜测他们的交流；现在看来，材料的生存主要是由偶然决定的。

欧几里得和阿波罗尼乌斯作为木匠的描述与我们从其他来源获得的所有信息背道而驰，但这只是民间传说吗？我们无法知道。

作为一名希腊数学家，确实有多少方法，在我们考虑的900年里，它们发生了变化？他们互动吗？罗马人，通常被描绘成一个对科学没有兴趣的无文化的大师种族，在他们统治希腊世界的时期，是如何对数学的发展做出贡献的？

同样重要的遗产，特别是来自16世纪的遗产，是欧几里得、阿基米德，以及那些遵循他们的模型的人：公理、定理和证明。与之相关的意识形态是数学不应该处理现实世界，或应用问题。

现实当然更复杂；即使我们失去了许多木匠、税务者、建筑师和工程师的记录——我们必须假设存在——剩下的东西仍然相当复杂和多样，即使其中一些在我们看来是相当低级的数学。

从加倍到任何比例的增长。这件事做得很早。最早的解决方案，由梅纳克马斯据说涉及曲线的发明，我们称之为圆锥曲线。在现代符号中，我们将取一个方程为y = x2的抛物线和一个方程为xy = 2a3的双曲线。它们在x = a 3√2，y=x2处相，如下图：

到目前为止我们没有说梅纳赫马斯是如何定义曲线的，资料来源也没有说。在后来的时代，它们首先被定义为圆锥体的部分；并在阿波罗尼乌斯的困难（三世纪晚期）圆锥曲线中得到它的最终形式，这是“古典”希腊传统的主要作品之一。

我们有大量关于立方体重复问题的信息，即使其中一些很难解释。一个特别有趣的来源是埃拉托塞尼（三世纪）的文件，被称为“柏拉图”，它只在引用中存在。

一个民间传说描述了这个问题的起源（在德洛斯的祭坛的两倍大小）。虽然不是可靠的历史，但这至少有一个实际的外观。

他否定了以前的解决方案，但没有详细描述它们，认为“不切实际”或“笨拙”；并通过一种叫做“中拉者”或“平均者”的机器提出了自己的解决方案——如果校准得当，可以在a和B之间构造任意数量的平均比例，如下图

这种“机械”的解决方案本身与希腊几何的标准形象相悖；这与埃拉托梯尼的主张进一步矛盾，即这种方法可以用于各种方式。

此外，将我们的液体和干燥测量，米和介质，变成一个立方体，并从这个立方体的大小，根据这些测量测量其他容器的容量。因为，如果要增加投掷量，这些发动机的所有部件，厚度、长度和开口、轮壳和电缆的尺寸都必须按比例增加。

理论和实践之间似乎有一些更强的联系，尽管克诺尔警告说：埃拉托梯尼主要是一个文人，人们怀疑他对像“中语之法”这样的敏感特殊目的工具的实用性的看法被夸大了。尽管如此，其发明背后的意识形态似乎仍是真实的。

克诺尔可能低估了至少一些希腊几何家认为这个问题的应用程度——同样的建造动机无疑出现在埃拉托梯尼近当代拜占庭的军事作品中。

在这里，在不偏离“经典”几何边界的情况下，我们找到了一个问题的机械解决方案，至少为其实际用途推广。显然这是我们将在本章中讨论的要点——希腊数学的本质比人们想象的要复杂得多。

我们将看看一些不完全符合欧几里得模式的后期传统的例子，包括阿基米德，亚历山大的苍鹭和托勒密。所有这些都对后来数学的发展产生了巨大的影响，并且都提出了关于希腊数学种类的有趣问题，这些问题（人们可以猜测）在与我们有关的长期历史时期中争夺影响力。

与此同时，由于时间的长度和作品的多样性，在这类书中试图涵盖一切都是不切实际的。特别是阿波罗尼乌斯、狄奥芬图斯和帕普斯的重要作品。

阿基米德是科学史上最英雄化的人物之一；但与伽利略和牛顿不同，他们的生活非常细节，我们对他知之甚少。关于他的文学作品越来越多；与其说是“传记”，不如说是试图从他的作品中理解他。

的确，他的生活比其他任何希腊数学家都有更好的记录（希帕提亚可能除外），但这并不能说明什么。主要的资料来源往往集中在一些令人难忘的事件上——“尤里卡的故事”，他在锡拉丘扎围城中扮演的角色，他死于一名罗马士兵手中。

他的作品一直被认为是独特的辉煌和困难的，也许他的肖像是适合他们的；虽然不同寻常的是，有一些信件介绍的作品是“个人的”，因为在希腊数学中没有多少。

在普鲁塔克的《马塞勒斯的生活》中，阿基米德作为心不在焉的纯粹研究者的肖像，无论出于什么原因，它都变得有影响力。与柏拉图式的宣传观点相一致，普鲁塔克声称，这些实际的考虑对他来说并不重要。

然而，阿基米德拥有如此崇高的精神，如此深刻的灵魂，以及如此丰富的科学知识，虽然这些发明现在使他赢得了超越人类睿智的名声，但他却不愿屈尊对这些问题留下任何评论或写作。

但是，他认为整个工程行业和一切只会使用和获利的艺术都是肮脏和不光彩的，他把他的全部感情和野心都放在那些更纯粹的推测中，不能涉及到生活的庸俗需要；研究，其中的优越性是所有其他的，毫无疑问的，唯一的疑问是所考察的主题的美丽和宏伟，或证明方法和方法的精确和说服力，是否最值得我们钦佩。

不可能在所有的几何中找到更困难和更复杂的问题，或更简单更清晰的解释。有些人把这归因于他天生的天才；而另一些人则认为，这些令人难以置信的努力和辛劳，在表面上都是轻松和不费力的结果。你的调查也无法成功获得证据，然而，一旦看到，你立即相信你会发现它；通过如此平稳、如此快速的道路，他引导你找到所要求的结论。

有人怀疑普鲁塔克没有读过他所描述的“流畅而快速”的作品，因为后人觉得它们令人印象深刻，但很困难。几何核心，包括抛物线和球体和圆柱体的测量，以极大的创造力，从欧几里得较硬的部分；我们不会在这里处理它们，但在福维尔和格雷有很好的提取物。

然而，阿基米德的作品比这些作品所暗示的要多，而且他的其他一些幸存下来的作品与普鲁塔克眼中的“纯粹”数学家的形象相矛盾。

《静态学》和《关于漂浮的身体》是理论物理学中最严肃的著作，超出了亚里士多德思想的希腊传统；因此，他们在文艺复兴时期产生了很大的影响，特别是对伽利略。阿基米德被称为“方法”的奇怪文件提供了阿基米德机械倾向的进一步证据。

例如，人们对这份手稿提出了详尽的声明，它包含了一个微积分版本，如果没有“丢失”，历史的进程将会改变。没有必要这样夸张；据我们所知，这种方法是一种非常不寻常的作品，没有模仿者，而且有充分的理由。在他给埃拉托塞尼的介绍信中，阿基米德描述了他在做什么，以及为什么。

所提到的“方法”包括测量物体的面积（例如抛物线的一段），通过“平衡”它们与更简单的物体（例如三角形），使用分割成无限薄的切片。

这里有两件事引人注目：第一，使用称重作为理解的指南，大概是受到静态工作的启发——这是阿基米德的“应用方面”；第二，在上面引用的信中坚持认为，这不是一个证明，但一旦你找到了答案，就必须建立一个证明。（在某种意义上，它澄清了为什么答案是什么。）

我应该强调的是，该方法是一种应用工具这一事实并不能使它容易阅读；如果是的话，也许它会被保存下来并引用更多。把它描述为“迷失”只是部分准确；九世纪的一个人，以及在那之前的许多人，一定知道它，并认为它有足够的兴趣，值得复制。

然而，据我们所知，它对后来的传统没有影响，无论是通过拜占庭还是伊斯兰世界；尽管一些伊斯兰数学家非常尊重阿基米德，并努力重建他所谓的他们没有的作品。

相比之下，阿基米德的一部作品有巨大的影响，现在仍然如此。这是他对一个圆的测量值。它很短——人们认为它只是一个较长的工作的一部分，其余的都丢失了；但剩下的被更简单的数学家发现非常有用。它所包含的三个定理值得全文引用，作为一种典型的希腊方法来处理我们所说的计算π的问题：

命题1。任何一个圆的面积都等于一个直角三角形，其中关于直角的一条边等于半径，另一条边等于圆的周长。

命题2。任何圆的面积是直径的平方，如11到14。

命题3。任何一个圆的周长超过直径的三倍，其数量小于直径的七分之一，但大于七十部分。

但在不同的时期，这三个部分都被发现是有用的。3第一个状态（在我们的术语中），面积A是1 2 rC，其中r是半径，C是周长。希腊人有时担心，我们不会担心，这是否意味着一条直线的长度等于曲线c。第二条状态是A = 11 14（2r）2（= 22 7 r2）。第三个还给出了C与2r比率的近似三又七分之一，它在2000多年后仍然使用，并且被不使用阿基米德更精确的公式的计算器当作“正确”的答案：

当我们对π使用近似值三又七分之一时，我们因此要感谢阿基米德，尽管我们可能对他的方法一无所知。然而，这些方法本身就很有趣，作为他如何计算的一个例子——同样，一个比柏拉图式的数学模型所暗示的更真实的程序。例如，对于三又七分之一的上界，他以一个限定的六边形开始，如下图：

阿基米德假设任何有边界的图形的周长都比圆大，然后通过平分角度找到连续较小的图形（如下图）；他进而推导了连续边长度的规则：

参考文献：

圆锥曲线阿基米德焦点三角形的一个性质[J]. 邹生书. 数学通讯. 2011(14)

圆锥曲线阿基米德三角形的一个性质[J]. 高用. 中学数学研究(华南师范大学版). 2013(09)

圆锥曲线与类阿基米德三角形的三个命题[J]. 鹿亚梅,冯斌. 数学教学. 2022(06)