广义相对论：困在时空中的我们，该怎么观测我们的时空

#头条创作挑战赛#

中学物理书上说过，物理是一门观察与实验的学科。

如果在物理领域选一句最重要的话，那么一定是上面这一句。

观察，就是看。

实验，就是测量，因为实验的目的就是为了测量实验结果。

所以，我是谁，我在哪里，我看到了什么，为什么？[捂脸]

这就是物理的起源。

我，当然是被困在时空中的！

所以，我不具有高维度的视角！

所以，在看物理问题的时候，一定不要具有高维的视角：就跟写代码一样，不能拿人的思维灵活度去看待电脑，否则代码写不出来[呲牙]

一定要把自己代入CPU的视角，CPU不知道1, 2, 3, 4, 5该怎么排序，CPU只知道3比2更大！

CPU是被困在代码里的蚂蚁，人何尝不是被困在宇宙里的蚂蚁呢？！

所以，被困在地球表面的古代科学家，没法发个卫星到36000千米的高空看看地球的形状时，他该怎么发现地球是圆的呢？

1，测量大地的曲率，

测量地球

如图，他只要测量一下就行了。

古话说，“读万卷书，不如行万里路。”

古代科学家只要瞄准北极星，一直往南走，只要走得够远，就能测量出他走过的距离跟平面几何算出来的距离不一样。

他可以沿着这条弧线测量出很多距离和北极星的高度角来卫星跟踪卫星测量确定地球重力场的理论与方法，如果大地是平的，那么他测量的这些点应该在一条直线上：用欧式几何算出来的结果，应该跟实际结果的误差很小。

否则，他就可以推测出，大地是圆的！

他不需要发个卫星去太空看一下，甚至不需要跑到海边去看看帆船进港时是不是先看到风帆，只需要沿着地面测量就行：

校正一下高低起伏导致的误差，这并不难实现，因为隋朝的技术就可以修运河了！

这么测量出来的弧长，是地面生物可以测量到的内禀弧长。

这么测量出来的曲率，是地面生物可以测量到的内禀曲率。

他没有更高维度的视觉，他也不需要！

然后，他就可以告诉哥伦布，你可以开着船一直往西走，也能回到西班牙。

开着帆船航海这么危险的活，当然不能让科学家去做了，只能哥伦布这样的航海家去做：实验物理学家就是干这活的[捂脸]

不要想着直接观察到时空曲率，被困在时空中的你，没有更高维度的视觉，直接观察不到！

人类天然自带3维视觉，古人还觉得天圆地方呢，何况去观察更高的维度！

更高的维度卫星跟踪卫星测量确定地球重力场的理论与方法，直接看不出来，也直接画不出来，但可以用矩阵表示出来。

矩阵方程，是困在时空中的低维生物，通向高维时空的唯一办法！

当然不能老是像麦哲伦一样去航海验证，在能算出来的时候，人们还是想算出来的：毕竟几张稿纸不值钱，但船很值钱，而且航海的风险也不小。

2，求椭圆上的弧长，

求椭圆的一段弧长

如果是极坐标的话，弧长的微分的平方是：

如果是直角坐标的，弧长的微分的平方是：

如果以其中的一个为自变量的话，把另一个的微分根据椭圆的方程转化过去，然后再积分，就可以求出弧长了：

弧长的计算，使用的还是勾股定理：a^2 + b^2 = c^2.

1）极坐标系：

在非常小的情况下，认为三角形的斜边就可以表示弧长，而半径的增量就是其中一条直角边，另一条直角边就是圆心角的增量对应的弧长。

2）直角坐标系：显然x、y坐标的增量分别对应2条直角边，也是斜边对应弧长。

对于直角坐标系，dx^2 和 dy^2前面的系数都是1。

对于极坐标系，dr^2 和 前面的系数不都是1。

就是这么一点差别，就被数学家们注意到了！

然后，他们发明了微分几何[捂脸]

3，坐标变换下的不变量，

曲线的弧长，不管用直角坐标系，还是用极坐标系，算出来的结果都该是不变的。

因为变的是坐标系，而不是曲线。

在两套不同的坐标系下，同一段弧长该怎么联系起来？

弧长对应着微分，微分对应着一阶导数。

那么曲线方程的一阶导数在坐标变换下，怎么变？

例如：

那么：

左边是f对极坐标的导数L，右边是f对直角坐标的导数R，写成矩阵方程：

L = JR.

J叫做雅可比矩阵，它是坐标变换时的导数变化规律。

如果给同一个时空，建立了两套坐标系，那么这两套坐标系之间的坐标通过上面的矩阵方程换算，就可以保证时空的几何性质是不变的。

这两套坐标系，也不一定必须是直角坐标和极坐标，也可以是其他坐标，只要空间点的坐标值是一一对应的就行：一一对应，连续，并且存在导数，最好是无穷阶可导[呲牙]

这么一来，人们研究物理的时候就跳出了平直坐标系和欧几里德空间了！

弯曲时空里建立不起来平直坐标系，因为任何东西都被时空影响着。

正是有了黎曼造出来的这一套几何学，爱因斯坦研究广义相对论时不需要像牛顿一样，自己也发明一套微分几何了。

牛顿为了研究万有引力，发明了微积分。

要是爱因斯坦出生的早，或者黎曼出生的晚，或许爱因斯坦也是物理数学双料大牛了。

对于非欧几何的研究，黎曼和高斯的贡献最大，所以有高斯曲率、黎曼几何等名词。

物理上是肯定存在两套参考系的，一个是观察者的参考系，一个是运动物体的参考系，他们之间的换算必须保证物理方程不变。

伽利略变换、洛伦兹变换、诺特定理，都是说的这个特点。

物理上最重要的就是向量，力、速度、加速度都是向量。

那么，向量在坐标变换下，该怎么变化？

4，张量的简介，

在用坐标表述向量时：

1）坐标值是向量在坐标轴上的投影，

2）坐标轴是坐标点的切线，

3）切线是坐标点所在的曲面的导数。

椭圆上的局部坐标系

如上图，在椭球面上的“蚂蚁”怎么建立直角坐标系？

为什么用蚂蚁这个词？

就是在看物理的时候需要忘掉高维度的视觉！

人虽然有3维视觉，但肯定没有4维视觉。

人虽然可以画出2维来，做出3维来，但肯定做不出4维的（模型）来。

人能给出的，只有4维的方程。

所以，站在椭球面上的我们，就在脚下直接建立坐标系：它实际上是沿着椭球面的切线方向，而且在局部的小范围内是近似平直的。

那么，向量在这个坐标系里的坐标(a0, a1, …, an)，表示的是：

把i同时写在上标或者下标上，表示沿着i求和。

上面表示的是坐标梯度和向量a的数量积，在坐标变换时这个值是不变的，因为它是标量。

公式左边的写法，是爱因斯坦发明的，所以叫爱因斯坦记号。

向量的坐标在两套坐标系之间换算时，也是用雅可比矩阵（两套坐标之间的偏导数）：

这里的i虽然写在指数上，但不表示指数，而是表示第i个坐标。

空间是多少维的，i就有多少个，在广义相对论里是4个。

如果f(x1, x2, …, xn) = 0，这种曲面叫等势面：它表示一个保守力场，做得功只跟运动物体的起始位置有关，跟运动轨道无关。

引力场，就是这种情况。

离地球同样远的点组成一个等势面：这些点的引力势能一样，叫引力势：引力加速度就是引力势的梯度：

公式1和2的变换矩阵正好是反着的！

因为这2种情况，所以微分几何上把坐标的标号分别写在上面和下面：上面的叫逆变指标，下面的叫协变指标。

它们都对应着坐标变换下的某种不变量！

这些量的运算规律，就是张量运算：算完了之后，上标和下标是对称的。

例如，如果对求梯度的话，在坐标变换之后的形式也得是

重复的上标和下标表示求和，运算之后消去（不重复的留着），T前面的偏导数表示梯度。

看上式的最右边，消掉i和j，剩下的就是i'和j'，其中i'是上标，j'是下标。

5，黎曼联络，

曲线坐标系的张量的导数，在变换时是这样的：

如果

那么

公式3的右边多出来的第2个式子，一般是没法消除的：在欧几里德空间里才是0。

公式4，也就是多出来的那个坐标的混合偏导数，叫克里斯托弗符号。

在黎曼空间里，它叫黎曼联络。

弯曲空间的曲线的弧长微分：

坐标微分的二次项之前的系数，写成矩阵之后就是度规。

所以，在椭球面上的我们，没法建立平直坐标系的情况下，该怎么研究物理？

就是用这种办法，只要在两个参考系之间给出坐标变换的关系，就可以保证物理方程在这两地是通用的。

5，物体在弯曲时空中该怎么运动？

之前说过伽利略的比萨斜塔实验，证明了物体在引力场中的运动跟物体的质量无关。

爱因斯坦的等效原理，进一步确定了引力质量和惯性质量等效、引力场和具有某个加速度的参考系等效。

GMm/r^2 = ma，

去掉m可得：GM/r^2 = a.

而且：GM/r对r的导数是-GM/r^2.

GM/r就是引力势，引力加速度就是它的梯度的相反数。

既然广义相对论把它看成了弯曲时空的几何，那么：

按照牛顿第一定律，物体在弯曲时空中要沿着“弯曲时空里的直线”运动。

弯曲时空里的直线，叫做测地线。

放在椭球面上来说，测地线是两点之间的最短的弧线距离：

它相当于求泛函的极值：

方程f(x,y,z) = 0的约束下。

积分号下的那个式子，就是弧长的微分ds，写成平方的形式就是：

ds^2 = dx^2 + dy^2 + dz^2.

这个坐标用的是三维直角坐标系，因为我们看得到三维空间。

在曲线上只有1个坐标是真自变量，另外2个都受到曲面方程的约束：

x,y,z里选1个当自变量、另外两个表示成导数就可以了。

测地线

上面那个方程，欧拉-拉格朗日在18世纪就解出来了。

广义相对论的测地线是4维的。

在弯曲时空里，一直沿着时空的切线运动就是“匀速直线运动”。

虽然在3维里看上去，既不直线，也不匀速。

既不神圣，也不罗马[捂脸]

本文到此结束，希望对大家有所帮助。