​初三培优系列94: 两个难题巧解（矩形大法，四点共圆等）

本文探讨今天群里看到的两个难题。

题目1：深圳的陈老师提问——求几何解法？

这道题就是经典的矩形大法的应用。

ggb重新打字如下：

ggb绘图是很容易的。用三个辅助圆即可，如下：

（1.1）ggb直接解：

最值系列可以采用最大值点指令即可，这样ggb可以直接计算出答案，即最大值为14，尽管考场上是不能这样使用，但是对于命题者、研究者是非常有帮助的，至少可以用来验证。

（1.2）学生考场上的手工解法：

反思1：你可以求出最小值吗？

可以的！如下图

AD的最小值为11-3=8.

即BC的范围为：11-3≤BC≤11+3，即8≤BC≤14.

题目2：昆明 王权龙提出的一个问题：

ggb画图如下：

ggb画图十分精准，所以直接利用根式文本的指令jquery获取最大值，就可以得到答案为根号3/3！

但是如何证明？

初看起来想共顶点的手拉手模型，但是做起来不算是。

注意1，作业帮上的倒角方法是错误的。

注意2：有老师的构造弦图模型的方法是不对的，如下

上面的结果不对。

究竟如何证明呢？

方法1：巧妙利用四点共圆

这个利用四点共圆的方法非常奇妙！

反思2：以上是纯平面几何的方法，如果建系，则也可以算！

不妨A(0,0),B(1,0),D(0,1)，则

DF:y=x+1jquery获取最大值，故令F(f,f+1)，则

由AF=√2知f²+(f+1)²=2

解得f=(√3-1)/2>0

故F(√3-1)/2,(√3+1)/2)

令AF中点为M，则

M((√3-1)/4,(√3+1)/4)

k(AF)=2+√3

EM:x=(-2-√3)y+1+√3

令E((-2-√3)e+1+√3,e)

由AE=1知

((-2-√3)e+1+√3)²+e²=1

解得e=1/2(已验)

故sin∠EAB=1/2

故∠EAB=30°

故∠DAE=60°

由对称性知∠DAH=30°

故DH=√3/3

反思3：王老师继续贴出方法3：

这个方法看起来是学生写的，很不错，但是繁琐一些。

看来此题还不错！

还有一题：文海平老师提出的，下面这题如何求解？

看起来是一个竞赛题，嗯，有兴趣的朋友先想一想。

本文到此结束，希望对大家有所帮助。