最值问题分析求解的两个角度，高分必备

最值问题分代数最值和几何最值两类，其中代数最值主要考查方程与不等式及函数的性质，而几何最值涉及到图形的性质、图形的变化、图形与坐标多个维度.因其既能考查学生知识的灵活运用能力，又能更好的体现试题的区分度和效度，成为近几年数学学科中考命题教师偏爱的压轴题型之一.

初中数学几何最值问题考查的知识要点主要有以下四个方面（1）公理：两点之间线段最短（”将军饮马”问题、”蚂蚁爬行”问题、”阿氏圆”问题、”两边之差”问题）（2）公理：垂线段最短（”跳远”问题、”胡不归”问题）（3）定圆中的最长弦是直径（”不定圆”问题）（4）点和圆的位置关系（”360°旋转”问题、”轨迹隐圆”问题）.

解决此类问题的常规方法是:建模——识模——用模.下面通过一道经典问题来说一说几何最值分析求解之道。

问题：在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，将△ABC绕顶点C顺时针旋转，旋转角为θ（0°＜θ＜180°），得到△A₁B₁C．

（1）如图1，当AB∥CB₁时，设A1B1与BC相交于D．证明：△A₁CD是等边三角形；

（2）如图2，连接AA₁、BB₁，设△ACA1和△BCB1的面积分别为S₁、S₂．求证：S₁：S₂＝1：3；

（3）如图3，设AC中点为E，A₁B₁中点为P，AC＝a，连接EP，当θ＝ °时，EP长度最大，最大值为 _____．

【分析】（1）当AB∥CB₁时，∠BCB₁＝∠B＝∠B₁＝30°，则∠A₁CD＝90°﹣∠BCB₁＝60°，∠A1DC＝∠BCB1+∠B1＝60°，可证：△A1CD是等边三角形；

（2）由旋转的性质可证△ACA₁∽△BCB₁，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求解；

（3）连接CP，当E、C、P三点共线时，EP最长，当△ABC旋转到△A₁B₁C的位置时，此时θ＝∠ACA₁＝120°，EP＝EC+CP＝1/2a+a＝3/2a．根据图形求出此时的旋转角及EP的长．

本题考查了旋转的性质，特殊三角形的判定与性质，相似三角形的判断与性质．关键是根据旋转及特殊三角形的性质证明问题．

【解答】（1）证明：如图，∵AB∥CB₁，

∴∠BCB₁＝∠B＝∠B₁＝30°，

∴∠A₁CD＝90°﹣∠BCB1＝60°，∠A₁DC＝∠BCB₁+∠B₁＝60°，

∴△A₁CD是等边三角形；

（2）证明：由旋转的性质可知AC＝CA₁，∠ACA₁＝∠BCB₁，BC＝CB₁，

∴△ACA₁∽△BCB₁，

∴S₁：S₂＝AC²：BC²＝1²：（√3）²＝1：3；

（3）：如图，连接CP，当△ABC旋转到△A₁B₁C的位置时，

此时θ＝∠ACA₁＝120°，EP＝EC+CP＝1/2a+a＝3/2a．

故答案为：120，3/2a．

【收获检测】

如图，直角边长为6的等腰Rt△ABC中，点D、E分别在直角边AC、BC上，DE∥AB，EC＝4．

（1）如图1，将△DEC沿射线AC方向平移，得到△D₁E₁C₁，边D₁E₁与BC的交点为M，连接BE₁，当CC₁多大时，△BME1是等腰直角三角形？并说明理由．

（2）如图2，将△DEC绕点C旋转∠α（0°＜α＜360°），得到△D1E1C，连接AD₁、BE₁、边D₁E₁的中点为F．

①在旋转过程中，AD₁和BE₁有怎样的数量关系？并说明理由；

②连接BF，当BF最大时，求AD1的值．（结果保留根号）

【提示】（1）如图1中，连接EE₁，当CC₁＝2时jquery获取最大值，△BME1是等腰直角三角形．利用平移不变性解决问题即可．

（2）①AD₁和BE₁相等．证明△BE₁C≌△AD₁C，即可解决问题．

②当点F在BC的延长线上时，BF最大为6+2√2．

【解题反思】

1、从”数”的角度——构造与所求线段长有关的不等关系

用来求最值的常规模型就是不等式，而与线段长有关的不等关系，最常见的就是三角形的三边关系。所以上述三题，核心思路都是构造出与目标线段有关的三角形jquery获取最大值，然后借助三角形的三边关系列出与目标线段有关的不等式进行求解。本题由三边关系得EP≤CE+CP（共线时相等），本题中CE、CP为定值(思考为什么CP是定值)，所以EP最大=CE+CP。从数的角度看，本题借助几何关系构造与变化线段有关的不等关系，解题的本源模型是不等式。虽是几何题，但离不开代数的技能。

2、从”形”的角度——分析动点的运动轨迹，直观感受线段的长短变化

深入思考后，我们可以描述出题目中动点的运动轨迹，想象出线段长短变化的动态过程。先通过动图直观感受下。

通过动态描述，更能够直观感受到线段长短变化的过程，并形象的验证了之前借助不等式所获得的数量结论。请同学们思考题中动点的运动轨迹应该如何描述，为什么是这样的轨迹？

本文到此结束，希望对大家有所帮助。