拓扑学集合（二）（收集中）

定理 6. 给定一个从单位方形

到

的分片线性映射, 并且在边界点附近

是单值, 那么一定存在一个分片线性的嵌入, 它在边界附近

与一致.

的证明使用了巧妙的塔构造, 可简述如下: 像集

的正则邻域 N 是一个带边的三维流形. 如果某一边界分支有非零的亏格, 我们可以放在 N 的复迭空间中, 奇异的圆盘被提升到复迭空间中的奇异圆盘. 关键的步骤是提升的圆盘有更简单的奇异, 于是在重复这一步骤有限次之后, 我们会达到亏格零的情形. 从而证明完成. 一个重要的推论如下:

设

是一个简单闭的分片线性曲线. 那么 K 不打结当且仅当

.实际上, 如果 K 是打结的,

会含有子群

, 它来自于K 的管状邻域边界.

3.8 Haken, 慕尼黑, , 波恩, 20 世纪 60 年代

由定义, 在紧致可定向的分片线性三维流形M 中的不可压缩曲面是一个紧致可定向的分片线性曲面 F, 满足:

• 基本 π1(F) 非平凡, 并嵌入于 π1(M ), 并且

• 如果 F 有边, 那么 M 必定有边并且 ∂F ⊂ ∂M .

有这样不可压缩曲面的不可约流形称为 “充分大流形”, 或 Haken 流形. (这里, 不可约是指任意的嵌入二维球面都以三维球体为边界.) 给定一个不可压缩曲面, 再沿着它切开, Haken 在1962 年证明人们可归纳地构造一系列不可压缩曲面, 将流形分成单连通的块. 他从没发表该文章的下一部分, 其中应含有他所做论证的细节. 在1968 年发表了一个完整的论述, 并含有进一步更重要的结果. 特别地, 他证明任意一个闭的 Haken 流形, 在相差一个分片线性同构意义下, 由其基本群唯一决定. (在有边 Haken 流形的情形, 人们还必须考虑对应于边界分支的子群.) 后来, 与[1989] 利用这一工作, 证明出素纽结被其补集的基本群唯一决定.

3.9 D. , 耶鲁, 1968 年

下面一个重要贡献来自于完全不同的数学领域.

刚性定理. 维数≥3的有曲率 K ≡ −1 的闭 流形, 在相差一个等距意义下, 由其基本群唯一决定.

此结果也被 证出, 由 扩展到体积有限的完备流形中. 一个重要的推论是:

这种流形的体积也是一个拓扑不变量.

这是一个全新类型的拓扑不变量, 与以前所知的完全不同. 许多其他的同构不变量现在提升成同伦不变量, 如闭测地线的长度和 算子的特征值. 然而, 体积是一个特别方便进行研究的不变量.

在 20 世纪 70 年代, Riley, 一个英格兰南安普顿的博士研究生, 研究纽结群到双曲三维空间自同构群 PSL(2, C) 的表示, 集中在将纬元和平行于纽结的元素映到群中抛物元素的那些表示. 他发现了几个例子 (包括 8 字型纽结), 其表示不仅将

同构地映至PSL(2, C) 的子群

, 而且能提升成从纽结补集到商空间

的同胚, 这是一个体积有限的双曲流形, 即它在一个常负曲率度量下是完备的, 并且体积有限.

这样, 8 字型纽结在

中的补集能被赋予一个体积有限的完备的双曲结构.

依然是在 20 世纪 70 年代, 哥伦比亚大学的 Jø 发现了 PSL(2, C) 子群

的一些例子, 其商空间

是有圆周上纤维丛结构的紧致双曲流形.

3.10 , 普林斯顿, 20 世纪 70 年代后期

找到了更多的双曲纽结补空间. 他计算了 8 字型纽结补的体积, 通过将其 “三角剖分” 成两个理想等边 3 维单形来进行. (参见 [1912]. ) 使用可追溯到 的方法, 该体积是

关于双曲体积, 他的主要结果可叙述如下:

定理 7. 双曲三维流形所有体积值组成的集合是一个良序集, 即其中任何一个非空子集有最小元素. 更进一步, 对任何固定的体积, 最多存在有限多个互不同胚的流形.

实际上, 有 k(k≥1) 个端的任意一个流形的体积是有 k − 1 个端流形体积的递增极限. 想法是每个端等同于

一个嵌入复本, 它可以被切掉而用一个实心环

以无限个不同的方式替代. 几乎所有这些简化后的流形都能被赋予双曲结构, 它们的体积递增地趋向原来流形的体积.

举一个例子, 链环在

中的补有两个端, 对应于链环的两个分支. 图中相绕的实心环中的一个或者两个可以挖空并以无限多的方式填充上新的实心环. 在此特殊的情形, 链环的补有双曲体积 V = 3.66386 · · · .

3.11 Jaco, Peter , Klaus , 20世纪 70 年代后期

以这三位命名的 JSJ 分解, 是沿着嵌入的球面或环面切割把三维流形分解成更简单小块的方式.

下面是其中的一种叙述.

定理 8. 任意一个不可约的定向三维流形都有一个 (相差同痕) 唯一的互不相交的嵌入不可压缩环面组成的最小集, 使得沿这些环面切开的三维流形分支或者是非环性的 ()或者是 纤维化.

此处非环性表示, 它不再有不可压缩的嵌入环面.

3.12 , 1982 年: 几何化猜想

这个大胆的猜想指出每个三维闭流形都由一些有简单几何结构的块组成. 确切地说, 猜想断言每个光滑三维闭流形都可以通过一些嵌入的球面和环分解成若干

, 任意一个

都能被赋予局部齐性结构, 使得万有复迭

是齐性空间能性.

更进一步,

恰有八种可能性, 其中的三个是经典的几何:

(1)球面

, 有曲率 K ≡ +1. 以

为万有复迭的流行已由 在1952年分类.

(2) 欧氏空间

, 有曲率 K ≡ 0. 对应的紧致平坦流形已由 在 1911 年分类.

(3) 双曲空间

, 有曲率 K ≡ −1. 它是最有趣和最困难的情形.

下面两个几何很容易理解.

(4)

. 例如,

(5)

. 例如,

(双曲曲面).

至于最后三个几何,

将是三维李群, 带有最大对称的左不变度量.

(6) 幂零几何, 有幂零群

.例如, 环面上非平凡圆周丛.

(7) 可解几何, 有可解群

.例如, 圆周上大多数环面丛.

(8)

几何. 例如, 双曲曲面的单位切丛.请注意几何化猜想包含 é 猜想做为一个特例. 在许多有趣并且困难的情形证明了几何化猜想. 然而一般的情形, 特别是 é 猜想, 躲开了他.

3.13 , 康奈尔大学, 1982 年

利用微分方程

的 Ricci 流为研究流形的拓扑引入了全新的方法. 这里的

是 流形在局部坐标下的度量张量, 而

是 Ricci 曲率张量. 与热传导方程有些相似, 热量从热的区域流向冷的区域, 使得趋向常温. 同样地, 在 Ricci 流下, 曲率可直观地想象成从正曲率区域流向负曲率区域, 趋向于曲率的一致分布.

如果我们的出发点是严格正 Ricci 曲率的流形, 能够做出证明. 这种情形, 度量流向常正曲率的度量, 从而且证明该流形微分同胚于标准的三维球面. 但对于更一般的初始条件,度量会发生复杂的奇点, 没能取得更多的进展.

3.14 , 圣彼得堡, 2003 年

通过对Ricci 流所产生奇点的仔细和精巧分析, 解决了 遇到难题. 一些奇点相对可控, 可以消除. 其他一些对应于将嵌入球面收缩成一点, 于是对应于连通和分解. 同样还有其他的奇点, 对应于环面分解. 最后, 当没有奇点时, 流导致趋于齐性的极限. 以这种方式,我们能完成全部几何化猜想的证明, 包括做为一个特例的é猜想.

※ 进一步的注记：

A3.1. . 如今, 我们习惯于用 分解讨论分片线性流形. (如见 [1976].) 然而, 使用 Smale 型的论证和 “好” 的Morse 函数, 我们同样地可以构造光滑流形的 分解. 的原始论证的确使用了可微的方法, 但是以一个相当直观的风格.

A3.2. é. 非平凡 é 同调球的一个方便模型是球形正十二面体空间, 从一个正十二面体通过等同相对的面得到, 等同过程是球面上的一个移动复合上一个 2π/10 旋转.仔细观察, 由此产生的空间可以赋予常正曲率度量. (参见 和 [1934].) 不难发现, 它同胚于陪集空间

. 这个陪集空间可以等效描述为: 空间一点对应于中心在原点的正二十面体 (或十二面). 关于十二面体空间相当于 é原始构造的证明见 [1978].

如同对待 19 世纪的所有数学一样, 我们必须小心, 因为有些词的意义已经改变. 对于 é, “单连通” 空间是指拓扑上的胞腔或球面, 他的“Betti 数” 是我们的 Betti 数加一.

A3.3. . 在 20 世纪 30 年代晚期, 是上同调理论创始人之一, 定义了任意紧度量空间的上同调群. ( 的上同调群是同构于几年后定义的 Cech 上同调群, 虽然构造极为不同.)

我从来没有见过 , 他从 1951 年在高等研究院退休时, 就隐居起来, 直到他二十年后离世. 也许他想呆在人们的视线之外, 因为麦卡锡时代的政治气候对于他那样的持左翼政治观点的人是很危 险的. 是继承财产的一个百万富翁, 从来没有领取研究院的工资.

A3.4. . 如果流形 M 非素, 那么它可以被描述为连通和

. 类似地, 如果其中的一个流形不是素的, 则它也可以表示为连通和, 以此类推. 问题是要证明这个构造必定能最终停止. 我在 50 年前试图解决这个问题 (见 [1962]), 然后如释重负地也是懊恼地发现 在我出生之前就解决了它.

, 像 , üller 和 Witt 一样, 是纳粹党的早期支持者.

A3.7. . 他在普林斯顿的大部分时间, 我在那里. 我肯定认识他, 但不记得曾经与他有过交流, 也许我们都很害羞. 他很努力地独自工作, 得到了由 Ralph Fox 设法安排的一个小的资助. 当他的结果发现时, 我全然惊呆了, 我想其他人也会是这样吧. 他的重要结果, 不仅包括 Dehn 引理, 而且还有环路定理, 它是一个更强的版本以及球定理. 球定理断言: 对于满足条件

的每一个可定向的分片线性三维流形M , 都可以找到一个分片线性的嵌入球面, 它代表

中一个不平凡的元素.

在之前和之后, 有一个很长的纽结理论的历史. 开始于由P.G.Tait 在19世纪的一次尝试, 接下来有J.W. , K. 和许多人的工作. 更完备的描述, 可见于: 和 Fox [1963], [1976], [1997] 以及 [2014].

哪些数可成为双曲三维流形的体积? 这样的数论将会是很有趣.(例如, 见 Borel [1981] 和 [1986], 还有我在 [1980, 第 7 章]中的评述).

与 交谈使我感到非常好奇, 我是典型地对他的数学断言持怀疑态度的人. 他的断言经常是非常疯狂, 但他却从未出错.

§4. 四维流形

复二维代数簇, 也就实的四维流形, 早期研究者有 与 [1897, 1906], é [1904], [1905], [1924]. 物理学家感兴趣的四维流形, 是那些可能做为时空模型的一类 (见 [1922]) .然而除了与 [1934] 中的一些少数内容之外, 一般四维流形的正式的拓扑学研究在 20 世纪 50 年代才开始.那时, 一般地认为 n 维流形的拓扑会随着 n 增加而越来越难, 这到四维为止的确是正确的.

4.1 A. A. Jr., 莫斯科, 1958 年

对四维流形的研究做出了一个破坏性的贡献.

定理 9. 对于 n≥4, 在同胚意义下分类 n 维流形是算法上不可解的.

这里说一下证明概要,为简单起见取 n = 4.

给定一个群表现 P , 有 p 个生成元和 q 个关系, 构造一个相应的四维流形M (P) 如下: 从 p 个

的连通和开始, 挖去 q 个互不相交的

, 代表q 个关系. 然后, 在每个挖空处填充上一个

, 从而消掉基本群中对应元素. 现在设 P' 是由 P 加上 p 个平凡关系“1” 所得的表现, 证明 M (P') 同胚于 q 个

连通和当且仅当相应的群平凡. 因为有限表现群的平凡性问题是算法不可解的 (见 Adyan [1955]), 所以结论成立.

因此, 分类四维流形定理, 我们只能希望建立在有已确定基本群的流形中.

4.2 J. H. C. , 牛津, 1949 年

近期, 在同伦型意义下分类了四维复形. 应用于流形, 他的结果有如下推论 (参见[1958].).

推论1. 单连通的定向四维闭流形, 在同伦型意义下, 由如下的相交形式

决定. 这个形式是对称、双线性和幺模的 (即: 其行列式为 ±1).

这种对称双线性形式的分类是数论中重要而不平凡的问题. 不定形式的分类是容易的, 而正定的情形极困难, 因为不同形式数随着秩数极快地增长.

例如, 由 Carl 的工作可知, 有多于 904, 000, 000 个不同的秩为 30 的正定幺模的形式.

4.3 , 莫斯科, 1952 年

下面的结果是理解高维流形的重要一步, 亦是微分拓扑的开端.

定理 10. 如果一个光滑四维闭流形有正定的相交形式, 并且自相交数 u·u≥0 仅取偶数, 那么该形式的秩 (即中间维数的Betti 数) 能被 16 整除.

与之形成对比的是, 一个仅取偶数值的正定幺模形式的秩可以是 8 的任意倍数. 最简单的非平凡例子可由 E8 的 图来表示, 如下所示

这里的每个圆点都表示有自相交数 u·u = 2 的基向量, 两个相异基向量的相交数, 在有连线时是 +1, 在其余情况是 0. 因此, 没有光滑四维闭流形以这个对称双线性形式为相交形式.

在当时, 限制到光滑流形似乎像一个小的技巧,但最终成为一个关键.

4.4 , 加州大学圣迭戈分校, 1982 年

定理 11. 单连通定向四维闭流形在同胚的意义下唯一决定于

• 它的相交形式, 和

• 它的 “Kirby- 不变量”. 这是一个

中的元素, 在光滑流形情形总是零.

更进一步, 任意一个对称双线性的幺模形式都能被拓扑流形实现.

由此特别会得出, 存在着许多拓扑四维闭流形, 它们有偶的正定形式, 其秩模 16 是 8. 按照 的结论, 这类流形 M 在如下更强的意义下没有光滑结构.

与 M 有相同伦型的四维流形都没有光滑结构.

的证明基于极端不可微的方法, 并含有 grope 这一概念.(概念以及示例说明, 都归于 [1978].)

4.5 Simon , 牛津, 1983 年

利用完全不同的方法证出一个神奇的结果.

定理 12. 如果说一个光滑的单连通四维闭流形 M 有正定的相交形式, 那么该形式是可对角化的.

这样, 加上 的结果, M 必然同胚于连通和

要说明这两个结果的鲜明对比, 请注意:

推论2. 在超过 904, 000, 000 个有秩为 30 正定相交形式的拓扑流形同胚类中, 仅有一个能被光滑流形表示.

的证明是基于 “瞬子 ()” 研究, 这是来自数学物理的启发. 所用的拓扑学很少, 但有大量的深刻的分析学.

4.6 , 哈佛, 1987 年

很多数学家注意到, 将 的核心拓扑和 的分析方法相结合有着更奇妙的推论.(参见 Gompf [1983, 1993].) 现举一个来自于 的例子:

定理 13. 欧氏空间

能被赋予不可数多个互不相同的微分结构.

与之相反, 对于 n≠4,

在微分同胚意义下有唯一的微分结构. 因此, 维数4 与其他维数确定不同!

4.7 结语: 接下来会是什么?

关于光滑四维流形, 依然有很多内容要了解. 光滑的 é 猜想在四维是一个诱人的未解决问题. (参见, Gompf, 和 [2010]) 让我们看一下在其他维数都知道什么:

对于 n≥1, 容易看出同胚于 n 维球面的保向微分同胚类在连通和运算下, 形成一个交换并结合的半群

.定理 14 ( 和 ). 对于 n≠4, 该半群

实际上是有限交换群.

可是, 半群

全然未知: 它平凡吗? 若不平凡, 它是个群吗? 它多大? 若不是一个群, 它是什么样的半群?

※ 注记：

A4.2. . 更多的细节, 参见 [1949a] 以及 [1958]. 是一个很好的朋友, 是我所见过的以养猪为爱好的唯一数学家.

对称双线性形式

, 其中 x 和 y 取值于自由交换群

, 通常等同于二次型

有关这种形式的综述, 见 Serre [1970] 或 和 [1973]. 由定义,如果两个形式有相同的秩和符号差 (这说明它们在实数域上同构), 并且它们对任意 n 是模 n 同构的, 则称它们有相同亏格. 在幺模情形, 若固定秩 r 和符号差 σ, 仅有两种亏格:“偶”, 仅取偶数值; “奇”, 取奇或偶数值. 这些不变量仅有显然的限制条件 |σ|≤r 和 σ≡r(mod 2), 及不大显然的条件: 在偶的情形有 σ≡0(mod 8). 实际上, 在不定的幺模情形, 亏格是完全的同构不变量. 可是, 在定号的情形下， Carl 关于亏格 “质量” 的解析计算得出了相异同构类个数的很有用的下界. 由定义, 质量是对该亏格所有同构类 Φ 求和, 并除以 |Aut(Φ)|, 其中 |Aut(Φ)|≥2 是代表二次型自同构群的阶数.

A4.3. . 定理 (使用现代记号) 的最初形式是:一个带有 – 类w2 = 0 的四维流形一定有被48 整除的 类p1. 事实上, 数p1[M4]等于三倍的符号差. 在单连通的情况下, 相交形式是偶的当且仅当 w2 = 0. 他的基于示性类之间的关系、配边、以及低维球面的同伦群的证明, 激发了微分拓扑研究的新领域. (René Thom 配边的完整理论两年后才发表.) 关于进一步发展, 见 和 [1960] 或 [1966, 199 页]. 也因遍历理论中的贡献, 而为人所知.

的人生相当坎坷. 他的父亲在斯大林的大清洗中于 1941被处决, 自己在保卫莫斯科战斗中受伤, 在德国的一个战俘营被囚禁了一年或两年, 之后设法逃脱并最终加入苏联军队. 战争结束后, 他又被关在一个苏联营地中一年多的时间, 因为斯大林对返回的战争囚犯是非常怀疑的. 最后, 经过 和 的调解, 他被释放并担任了一段时间的 助手. 在 1952 年, 有传言说所有少数民族的犹太人将被驱逐到远东, 他找到一个更安全的地方: 在北部的阿尔汉格尔斯克林业研究所. 在那里, 他在一个很低的位置上度过了几年. 最后, 于 1959 年他得到在列宁格勒州立大学的职位. 在那里, 他的学生有: Yakov , , 和 Oleg Viro.

A4.4. . 在 “偶” 相交形式的情形下, 的定理更准确地说明 Kirby- 不变量可以视为 σ/8(mod 2), 其中 σ 是符号差. 另一方面, 在 “奇” 的情形下,Kirby- 不变量和相交形式都可以独立地变化. 因此, “最简单” 的非光滑例子有与复射影平面相同的伦型.

Kirby- 不变量做为

的一个上同调类, 定义更一般的任意维数的拓扑流形上. 在严格大于 4 (或当 M 有边时, 大于 5) 的维数情形下, 该变量为零当且仅当流形有一个局部分片线性同胚于欧氏空间的三角剖分. (在四维流形情形, 我们仅可以说: 它消失当且仅当 M × R 有这样一个三角剖分.) 类似地, 给定分片线性流形的两个复本 M × 0 和 M × 1的三角剖分, 有一个在

中的关于扩充三角剖分到分片线性流形 M × [0, 1] 上的阻碍.

的原始证明是基于 柄体这一概念 (或称 “柔性柄体”), 加厚的 2 维圆盘的一个变种. 本节图中说明了相关的概念 grope, 这归功于[1978]. 参见Kirby[1989] 或 [2005] 中的阐述. 的非光滑流形对我来说是很神秘的事物. 我们知道他们的存在, 但似乎对其中的任何一个, 都不可能构建一个完全明确的描述.

近年来, 已成为一位应用拓扑学家, 他是微软的 Q 工作间( Q) 的负责人, 这个部门试图用拓扑的想法建立一个能运行的量子计算机.

A4.5. . 这是关于 论证的一个非常粗略的轮廓. (参见[1983, 1983b], 和 [1990].)

给定一个有正定相交形式的四维 流形 M , 他选择 M 上一个特定的 SU2 丛, 考察丛上所有 “自对偶” 联络 (或 “瞬子”) 组成的空间, 模去将每一根纤维都映射到自己的规范自同构群. 利用 Cliff 和其他人的工作, 他发现这个空间除去 n 个奇异点外, 是一个五维光滑流形, 其中 n 满足条件

的点对

的个数. 这个五维流形可通过在无穷远处添加一个 M 的复本来紧化. 此外, 每个奇异可以被描述为一个复射影平面

上的锥, 适当取定向. 这产生 M 和

的 n 个复本无交并之间的一个配边. 这样一个配边的存在意味着 M 的符号差恰好是 n, 由此很容易得出相交形式可对角化.

A4.6. . 见 [1987] 以 及 [1984], Gompf [1983, 1993], De 和 [1992].

我不打算描述颇为技术性的 构造, 但我会粗略地描述下

上怪微分结构的一个例子.

引理 2. 存在一个光滑四维闭流形 M , 及一个拓扑上的连通和分解

, 使得两个拓扑流形

中至少有一个没有任何光滑结构.

证明. 设

是 曲面

. K 的相交形式已知是偶型的, 秩是 22, 符号差是 −16. 以 −K 记相同的流形,但取相反的定向. 从 的定理很容易得出 −K 保向同胚于五重拓扑连通和 X#X#Y#Y#Y , 其中X是的E8 流形, 它没有微分结构而

. 于是结论成立.

推论3. 两次穿孔的四维球面上存在一个可微结构, 具有以下性质:没有光滑嵌入的三维球面可以分开这两个孔.

证明. 由引理 1, 存在

在 M 中的一个拓扑嵌入, 它分离M 的两个因子M1 和 M2. 现在给

的这一拓扑嵌入复本赋予继承于 M 的微分结构. 如果有一个光滑嵌入的

在 M 的这个子集中并且分离两个拓扑边界, 那么我们可以沿这个球面切开M , 然后补上两个四维球体, 所得两个新的光滑流形分别同胚于M1 和 M2. 但由假设, 这是不可能的. 由于

是微分同胚于两次穿孔的四维球面, 这就完成了证明.

下一步要困难得多. 以

记 X#X 与

的 n 个复本的连通和. 取 n₀ 是使有

微分结构的最小值. (因此, 由 定理知: 1≤n₀≤3.)

引理 3 (). 存在一个紧致子集

有如下性质:

• 补集

同胚于

,

• Q 在

中的某一邻域 V 能光滑地嵌入

中做为其子集, 其中

.我不准备描述证明: 像 的主要定理的证明一样, 它涉及高度非光滑结构.

假设有引理 2, 开集 U 做为子集的继承

的微分结构, 它就是想要的怪 R4. 事实上, 如果 U 微分同胚于普通

, 那么它将是一个递增序列

的并集, 其中每个 Bj 都是四维单位闭球的光滑嵌入复本. 对于很大的j, 边界 ∂Bj 将包含在 V 内, 因此会映射到

中的一个光滑嵌入的球面. 该球面将分离

, 使

成为不可能的光滑连通和.

有很多关于四维流形微分结构和微分同胚不变量的文献, 例见 和 [1989], [1999] 以及 [2003].

A4.7. 接下来会是什么? 在 20 世纪 60 年代, 人们惊奇地发现, 维数 4 和 3 是最困难的情形, 再高的维数却更容易. 关于这种现象一些解释, [1984]. 高维流形的一个简要综述在 [2011] 中给出, 特别是文中的表 2 和 3 描述了

的精确结构, 其中 1≤ n≤63 并且 n≠4.

本文到此结束，希望对大家有所帮助。